Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 08

[Metin Can Aydemir]

Başlangıçta bir çember etrafında $28$ boş kutu bulunuyor. Her işlemde, her iki komşusu boş olan bir boş kutuya bir top yerleştiriliyor ya da bir top bulunduğu kutunun boş bir komşu kutusuna aktarılıyor. Birkaç işlem sonucunda boş olmayan kutu sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 23 \qquad\textbf{b)}\ 24 \qquad\textbf{c)}\ 25 \qquad\textbf{d)}\ 26 \qquad\textbf{e)}\ 27$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Hamlelerin içeriğine bakılırsa tüm kutuların dolu olması mümkün değildir (her hamle sonucunda en az $1$ kutu boş kalmaktadır). Eğer $27$ kutu birden dolu olabiliyorsa $27$ dolu kutu elde etmek için birkaç hamle sonucunda $26$ kutuyu doldurabilmeliyiz (Her hamlede ya dolu kutu sayısı aynı kalıyor ya da $1$ artıyor). $27.$ kutuyu doldurabilmemiz için kendisi de dahil olmak üzere $3$ tane kutunun boş olması gerekir (kendisi ve komşuları). Fakat $26$ dolu kutu ve $3$ boş kutu aynı anda olamayacağından bu mümkün değildir. $27$ dolu kutu elde edemeyiz.

Şimdi $26$ dolu kutuyu nasıl elde edeceğimize bakalım. $28$ kutuyu ardışık üçer kutulardan oluşacak ve her kutu bir grupta olacak şeklinde gruplayalım ve ortadakileri dolduralım. $9$ kutu dolacaktır. Bu dolu kutuları $2.$ hamle çeşidi sayesinde kaydırıp yan yana getirebiliriz. Kalan $19$ kutuyu gruplarsak $6$ kutu dolar. Benzer işlemlerle, geriye ardışık $13$ boş kutu kalır. Bunlara da aynı işlemi yaparsak $4$ tane dolu kutu $9$ tane boş kutu elde ederiz. Sonraki adımda $3$ dolu $6$ boş kutu elde edilir. Sonraki adımda $2$ dolu $4$ boş kutu elde edilir. Daha sonra $1$ dolu $3$ boş kutu elde edilir ve son adımda $1$ dolu $2$ boş kutu elde edilir. İşlem daha fazla ilerleyemez ve $26$ dolu $2$ boş kutu elde etmiş oluruz.  Dolayısıyla cevap $\boxed{26}$'dır.