GEOMETRİ ALAN PROBLEMİ {çözüldü}

[Raven]

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|$ dir. $|AC|$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası ve $BD$ doğru parçası üzerinde bir $P$ noktası alınıyor.
$m(PAB)=m(PBC)=m(PCA)$ ve $|BP|=2$ olsun. $ACP$ üçgeninde $A$ dan geçen kenarortay $BD$ ye dik olduğuna göre $ABC$ üçgeninin alanı kaçtır?

[Squidward]

$\angle PAB = \alpha$ ve $\angle PBA = \beta$ olsun, $[PC]$ nin orta noktası $K$ ve $AK \cap BD = L$ olsun. $\angle PBC = \angle PCA = \alpha$ verilmiş ve ikizkenarlıktan $\angle ABC = \angle ACB$ olduğundan $\angle PCB = \beta$ olur. $\angle LPA = \angle PAB + \angle PBA = \alpha + \beta$ ve $\angle LPM = \angle PBC + \angle PCB = \alpha + \beta = \angle LPA$ bulunur. $\triangle ALP$ de $LP$ hem açıortay hem yükseklik olduğundan ikizkenardır ve $AP = x$ ise $PC = 2x$ olur.

$\triangle PAB \sim \triangle PBC$ benzerliği yazılırsa $\dfrac{2}{2x} = \dfrac{x}{2} = \dfrac{AB}{BC}$ den $x = \sqrt{2}$ bulunur ve $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1}{\sqrt2}$ bulunur, $AB = AC = k$ ise $BC = \sqrt2 \cdot k$ bulunur ve $\triangle ABC$ ikizkenar üçgeni pisagor teoremini sağladığından ikizkenar dik üçgendir, $\triangle ALP$ ve $\triangle PLK$ de ikizkenar dik üçgen olduğu bulunur, $AL = LP = 1$ ve $\triangle ALB$ de pisagordan $AB = \sqrt{10}$ bulunur, $A(ABC) = 5$ bulunur.