İran 2002 - 2. Aşama Geometri Sorusu {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$m(\widehat{ABC})=m(\widehat{ADC})=135^\circ$ olan $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $[AB$, $[AD$ ışınları üzerinden sırasıyla $M$, $N$ noktaları $m(\widehat{MCD})=m(\widehat{NCB})=90^\circ$ olacak biçimde alınıyor. $AMN$, $ABD$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $A$ ve $K$ noktalarında kesişiyor. $AK \perp KC $ olduğunu ispatlayınız.



Problemde  $135^\circ$ nin ve verilen dikliklerin önemi yok aslında. Daha genel olarak şu soruyu da çözebiliriz.

Problemin Genel Şekli: $ABCD$ konveks dörtgeninde $m(\widehat{ABC})=m(\widehat{ADC})$ dir. $[AB$, $[AD$ ışınılarının üzerinden sırasıyla $M$, $N$ noktaları $m(\widehat{MCD})=m(\widehat{NCB})$ olacak biçimde alınıyor. $AMN$ ve $ABD$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $A$ ve $K$ noktalarında kesişiyor. $AK \perp KC $ olduğunu ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

Problemi daha genel halde $m(\widehat{ABC})=m(\widehat{ADC})$ ve $m(\widehat{MCD})=m(\widehat{NCB})$ eşitlikleri varken çözelim. $135^\circ$ ve $90^\circ$ bilgilerine ihtiyaç yoktur.

Çözüm:

Verilen açı eşitliklerinden $m(\widehat{NDC})=m(\widehat{MBC})$ ve $m(\widehat{NCD})=m(\widehat{MCB})$ olup $NDC \sim MCB$ açı-açı-açı benzerliğinden
$$\dfrac{|ND|}{|NC|}=\dfrac{|MB|}{|MC|} \tag{1}$$ eşitliği yazılır. $AKC$ üçgeninin çevrel çemberini çizelim. $AD$, $AB$ doğruları bu çemberi $A$ dan farklı olarak sırasıyla $T$, $U$ noktalarında kessin. Lemma 1'den dolayı
$$\dfrac{|ND|}{|NT|}=\dfrac{|MB|}{|MU|}\tag{2}$$
olur. $(1)$ ve $(2)$ den
$$\dfrac{|NC|}{|MC|}=\dfrac{|NT|}{|MU|}$$
olur. Ayrıca $m(\widehat{CNT})=m(\widehat{CMU})$ olduğundan $CNT \sim CMU$ kenar-açı-kenar benzerliği elde edilir. Bu denzerlikten $m(\widehat{NTC})=m(\widehat{MUC})$ olur. Diğer taraftan $ATCU$ bir kirişler dörtgeni olduğundan $m(\widehat{NTC})=m(\widehat{MUC})=90^\circ$ dir. Çevre açılardan $m(\widehat{AKC})=m(\widehat{ATC})=90^\circ$ elde edilir.