Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 06

[ERhan ERdoğan]

$\dfrac{2n+13}{n^2+n+1}$ ifadesinin tam sayı olmasını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?


$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{C}$

İfadenin tam sayı olması için $n^2+n+1\mid 2n+13$ olmalıdır. Bu ise $2n+13\neq 0$ olduğundan, $$n^2+n+1\leq |2n+13|$$ olmasını gerektirir. Buradan iki farklı durum gelir.

$i)$ $n^2+n+1\leq -2n-13$ durumu. Bu durumda $$n^2+3n+14\leq 0$$ olması gerekir. Fakat buradan çözüm gelmez.

$ii)$ $n^2+n+1\leq 2n+13$ durumu. Bu durumda ise $$n^2-n-12\leq 0\Rightarrow (n-4)(n+3)\leq 0\Rightarrow -3\leq n\leq 4$$ olmalıdır. Deneme yanılma yapılırsa bu aralıkta $n=-3,-2,-1,0,1,4$ değerlerinin koşulu sağladığı görülür.