2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 20

[Metin Can Aydemir]

$a_1=9$ ve $n\geq 1$ için, $a_{n+1}=a_n(a_n+5)+4$ olsun. $$A=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{a_n+2}{a_{n+1}+2}$$ toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{7} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{9}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{11} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{13} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{15}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

İfadeyi ve indirgemeli diziyi düzenleyelim, $$a_{n+1}+2=a_n^2+5a_n+6=(a_n+2)(a_n+3)\implies \frac{a_n+2}{a_{n+1}+2}=\frac{1}{a_n+3}\implies A=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n+3}$$ olacaktır. $b_n=a_n+3$ dersek, $b_1=12$ ve $$a_{n+1}=a_n^2+5a_n+4\implies b_{n+1}-3=(b_n-3)^2+5(b_n-3)+4\implies b_{n+1}=b_n^2-b_n+1$$ elde edilir ve $A=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}$ olacaktır. Ayrıca $$b_{n+1}-1=b_n^2-b_n\implies \frac{1}{b_{n+1}-1}=\frac{1}{b_n(b_n-1)}=\frac{1}{b_n-1}-\frac{1}{b_n}$$ $$\implies \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b_{n}-1}-\frac{1}{b_{n+1}-1}\implies A=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{b_n-1}-\frac{1}{b_{n+1}-1}\right)$$ elde edilir. Bariz bir şekilde $b_n\to \infty$'dir. Bu teleskopik toplamı hesaplarsak, $$A=\frac{1}{b_1-1}-\lim_{n\to \infty} \frac{1}{b_{n+1}-1}=\frac{1}{b_1-1}=\frac{1}{11}$$ elde edilir.