f integrallenebilir iken |f| integrallenebilirdir {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Teorem: $f:[a,b]\to\mathbb R$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında integrallenebilir iken $|f|$ fonksiyonu da integrallenebilirdir. İspatlayınız.

[Lokman Gökçe]

İspat:
İlk olarak $f$ fonksiyonunun $[a,b]$ kapalı aralığında (Riemann anlamında) integrallenebilir olmasının tanımını hatırlayalım: Her $\epsilon > 0$ sayısı için $$ U(f,P)  - A(f,P) < \epsilon $$ eşitsizliği sağlanacak biçimde $[a,b]$ aralığının bir $P$ bölüntüsü bulunabilir. Burada $\Delta x_i =x_{i+1} - x_i$ olmak üzere
$$A(f,P) = \sum_{i=0}^{n-1}\inf_{t\in [a,b]}f(t)\Delta x_i $$
$$U(f,P) = \sum_{i=0}^{n-1}\sup_{t\in [a,b]}f(t)\Delta x_i $$ sırasıyla alt toplamı ve üst toplamı ifade eder.


Şimdi ispata geçebiliriz. Her $x,y \in \mathbb R$ için $\left| |x| - |y| \right| \leq |x-y|$ üçgen eşitsizliğinin sağlandığını biliyoruz. Buradan
$$\left| |f|(x) - |f|(y) \right| \leq \left| f(x) - f(y) \right| \tag{1}$$
elde edilir.
$$m_i=\inf\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\},\ M_i =\sup\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\}$$
$$m'_i=\inf\{|f|(x):x\in [x_{i-1},x_i]\},\ M'_i= \sup\{|f|(x):x\in[x_{i-1},x_i]\}$$
tanımlarını $(1)$ de kullanırsak $M'_i  \geq m'_i$ ve $M_i  \geq m_i$ olduğundan
$$ M'_i - m'_i = |M'_i - m'_i | \leq |M_i  - m_i | = M_i  - m_i $$
yani
$$ M'_i - m'_i \leq M_i  - m_i \tag{2}$$
elde ederiz. $(2)$ eşitsizliğinin her iki tarafını $\Delta x_i $ ile çarpıp $i=0$ dan $i=n-1$'e kadar toplarsak
$$ U(|f|,P) - A(|f|,P) \leq U(f,P) - A(f,P) < \epsilon $$
elde edilir. Bu eşitsizlik $|f|$ fonksiyonunun da $[a,b]$ aralığında integrallenebilir olması demektir.


Not: Bu teoremin uygulandığı bir problem için https://geomania.org/forum/index.php?topic=6659.msg19238#msg19238 bağlantısına göz atılabilir.


Kaynak:
[1] http://matkafasi.com/123723/integraller-icin-ucgen-esitsizligi bağlantısında Prof. Doğan Dönmez'in yorumu.
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral bağlantısında Riemann toplamı ve Riemann integrali tanımları.

[Lokman Gökçe]

Problem: Teoremin karşıtı da doğru mudur? Yani $|f|$ fonksiyonu $[a,b]$ kapalı aralığında integrallenebilir iken $f$ integrallenebilir olmak zorunda mıdır?


Çözüm:
$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & x\in\mathbb Q \mbox{ ise } \\-1, &  x \notin \mathbb Q \mbox{ ise } \end{array}\right. $

Dirichlet fonksiyonunu göz önüne alalım. (Bu fonksiyon hiçbir yerde sürekli değildir.) $f$ fonksiyonunun $[0,1]$ aralığındaki Riemann integralini araştıralım.
$$ \inf_{t\in [0,1]}f(t) =-1,\ \sup_{t\in [0,1]}f(t)=1 $$
olduğundan $[0,1]$ aralığının herhangi bir $P$ bölüntüsü için
$$A(f,P) = \sum_{i=0}^{n-1}\inf_{t\in [0,1]}f(t)\Delta x_i = -1$$
$$U(f,P) = \sum_{i=0}^{n-1}\sup_{t\in [0,1]}f(t)\Delta x_i =1$$
olup üst ve alt toplamın farkı sabit olarak $U(f,P) - A(f,P) = 2$ dir. Bu fark $0$'a yaklaşmadığı için $f$ fonksiyonunun Riemann integrali yoktur.

Öte taraftan $|f|(x)=1$ sabit fonksiyon olup Riemann integrali vardır ve $$ \int_{0}^{1}(1) dx = 1$$ olduğunu biliyoruz. Bu durum, $|f|$ integrallenebilir iken $f$ nin integrallenebilir olmayabileceğini gösteren bir örnektir.