Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 05

[Lokman Gökçe]

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alınıyor. $BC$ doğrusuna paralel olan bir doğru $[AC]$ ve $[AB]$ kenarlarını sırasıyla $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $Alan(BFD) = 1$, $Alan(DEF) = 2$ ve $Alan(DEC) = 3$ ise, $Alan(AFE)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{3}{2} \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{2} \qquad\textbf{e)}\ 3 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

$BDF$, $DEF$, $CDE$ üçgenlerinin yükseklikleri aynı olduğundan alanları ile taban uzunlukları orantılıdır. $|BD|=x$, $|EF|=2x$, $|CD|=3x$ olur. $AFE \sim ABC $ (açı-açı-açı) benzerliği olup benzerlik oranı $k=\dfrac{2x}{4x}=\dfrac{1}2 $ dir. Buna göre benzer üçgenlerde alanlar oranı $\dfrac{Alan(AFE)}{Alan(ABC)}=k^2= \dfrac{1}4 $ elde edilir. $Alan(BCEF)=3\cdot Alan(AFE)=6$ olduğundan $Alan(AFE)=2$ bulunur.