Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 32

[Lokman Gökçe]

Aşağıdaki sayılardan hangisi, $4n^2 + 1$ sayısını $n$ nin sonsuz sayıda tam sayı değeri için böler?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 13 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Çözüm 1:
$4n^2+1 \equiv 0 \pmod{3}$ denkliğinde $n\in\{0,\pm1 \}$ değerleri denenirse bunlardan hiçbirinin çözüm olmadığı görülür.

$4n^2+1 \equiv 0 \pmod{7}$ denkliğinde $n\in\{0,\pm 1, \pm2, \pm3 \}$ değerleri denenirse bunlardan hiçbirinin çözüm olmadığı görülür.

$4n^2+1 \equiv 0 \pmod{11}$ denkliğinde $n\in\{0,\pm 1, \pm2, \pm3, \pm4 , \pm5 \}$ değerleri denenirse bunlardan hiçbirinin çözüm olmadığı görülür.

$4n^2+1 \equiv 0 \pmod{11}$ denkliğinde $n\in\{0,\pm 1, \pm2, \pm3, \pm4 , \pm5, \pm6 \}$ değerleri denenirse bunlardan $n=4$ ve $n=-4$ için denklik sağlanır. O halde $n \equiv \pm4 \pmod{13}$ biçimindeki her $n$ tam sayısı için bu denklik sağlanır.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: Kare kalanlar ile ilgili şu lemmayı kullanalım.

Lemma: $m$ bir tam sayı olmak üzere $x^2 \equiv -1 \pmod{p}$ denkliğinin

$\bullet$ $p=4m + 1$ biçimindeki asal sayılar için çözümü vardır.

$\bullet$ $p=4m + 3$ biçimindeki asal sayılar için çözümü yoktur.

Buna göre verilen ifadenin $p$ asal sayısına bölünebildiğini düşünerek $$(2n)^2 \equiv -1 \pmod{p}\tag{1}$$ biçiminde yazalım. $p \in \{ 3,7,11\}$ asal sayıları $4m+3$ formunda olduğundan $(1)$ denkliğinin çözümü yoktur. $p=13$ asal sayısı $4m+1$ formunda olduğundan $(1)$ denkliğinin çözümü vardır. Denenerek bu çözümün $n \equiv \pm 4 \pmod{13}$ olduğu görülebilir.