İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi

[Metin Can Aydemir]

Soru (Metin Aydemir): $x$ ve $y$ reel sayılar olmak üzere, $$y (30y-11x)=1$$ $$(x-6y)(x^2-3xy+3y^2)=x$$ denklemlerini sağlayan tüm $(x,y)$ ikililerini bulunuz.

[samienes06]

$(x-6y)(x^2-3xy+3y^2)=x$ olduğundan ilk denklemi kullanarak $(x-6y)(x^2-3xy+3y^2)=xy(30y-11x)$ haline getirebiliriz. Parantezleri dağıtalım ve denklemde $0$'ı yalnız bırakalım. $x^3+2x^2y-9xy^2-18y^3=0$ yani $$(x+2y)(x^2-9y^2)=0$$ olur.

$y (30y-11x)=1$ denklemi $x-3y=0$ durumunda reel kök vermez. $x+3y=0$ ve $x+2y=0$ durumu için orijinal iki denklem de tek değişken cinsinden yazılırsa aynı kökleri sağlarlar.

Sağlayan $(x,y)$ ikilileri 4 tane olmak üzere $\left(-\dfrac{1}{\sqrt7},\dfrac{1}{3\sqrt7}\right)$, $\left(\dfrac{1}{\sqrt7},-\dfrac{1}{3\sqrt7} \right)$, $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{13}}, \dfrac{1}{2\sqrt{13}}\right)$, $\left(\dfrac{1}{\sqrt{13}},-\dfrac{1}{2\sqrt{13}}\right)$ olur.