Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 02

[ERhan ERdoğan]

Üç basamakllı $A0B, A1B, A2B, A3B, A4B, A5B, A6B, A7B, A8B, A9B$ sayılarının hiçbiri $11$ ile tam bölünemiyorsa $A + B$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen sayılar $0\leq m\leq 9$ için $A0B+10m$ formatındadır. Eğer aralığa $10$ da dâhil olsaydı $10$ ile $11$ aralarında asal olduğundan $10m$ sayısı $11$ modundaki tüm kalanları dolaşacaktı ve bu sayılardan biri $11$ ile bölünecekti. Ancak $0\leq m\leq 9$ için hiçbirinin bölünmediğini biliyoruz. Bu da demek oluyor ki $m=10$ durumu $0$ kalanı veren durumdur. $$A0B+100\equiv 100A+100+B\equiv 0\pmod{11}\implies A+B\equiv 10\pmod{11}.$$ $1\leq A+B\leq 18$ olduğundan $A+B=10$ olmalıdır. Bu şartı sağlayan tüm $(A,B)$'lerin de istenileni sağladığı görülebilir.