Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$6$ basamaklı bir pozitif tam sayının $7$, $11$ ve $13$ ile bölümünden kalan $1$ dir. Bu sayıda en çok kaç farklı rakam olabilir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Çin kalan teoreminden, bu sayı $7\cdot 11\cdot 13n+1=1001n+1$ formatındadır. Sayı $6$ basamaklı olduğundan $$100000\leq 1001n+1\leq 999999\implies 100\leq n\leq 998$$ olacaktır, yani $n$ sayısı üç basamaklıdır. $n=\overline{abc}$ dersek, $$1001n+1=\overline{abcabc}+1$$ olacaktır. Eğer $c\neq 9$ ise $a,b,c,c+1$ rakamlarından dolayı en fazla $4$ farklı rakam bulunabilir, örnek olarak da $n=123$ alınabilir. Eğer $c=9$ ve $b\neq 9$ ise sayımız $\overline{ab9a(b+1)0}$ olacaktır yani $a,b,b+1,0,9$ rakamları farklı olabilir ve $5$ farklı rakam kullanmış oluruz, örnek olarak $n=129$ seçilebilir. Eğer $c=b=9$ ise $a=9$ olamaz, $a\neq 9$'dur ve sayımız $\overline{a99(a+1)00}$ olur yani en fazla $a,a+1,0,9$ olmak üzere $4$ farklı rakam kullanılabilir.

En fazla farklı rakam sayısı $5$'tir.