Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 19

[AtakanCİCEK]

Bir $a_1,a_2,...,a_{100}$ pozitif gerçel sayı dizisinde $a_1=1$ ve her $n=1,2,...,99$ için
 $ \frac {1}{a_{n+1}}+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(a_i+a_{i+1}) \sqrt{a_i^2+i^2}}=1$
sağlanıyorsa, $a_{100}$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 10  \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 25$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$$\dfrac {1}{a_{n+1}}+\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{(a_i+a_{i+1}) \sqrt{a_i^2+i^2}}=1$$  $n$ yerine $n-1$ yazarsak ve denklemden çıkarırsak, $$\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_{n}}+\dfrac{1}{(a_{n}+a_{n+1})\sqrt{a_{n}^2+n^2}}=0$$ $n=1$ yazarsak $a_2=\sqrt{2}$ bulunur. Yani $a_n={\sqrt{n}}$ olabilir. Tümevarımla gösterelim,
$n=1,2,\cdots , k$ için doğru olsun.$n=k+1$ için ispatlayalım. Denklemde $n=k$ yazarsak ve $a_{k+1}=x$ dersek, $$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{(x+\sqrt{k})\sqrt{k(k+1)}}=0$$ payda eşitlersek, $$x^2\sqrt{k+1}-x-k\sqrt{k+1}=0 \Rightarrow (x-\sqrt{k+1})(\sqrt{k+1}x+k)=0$$ bulunur. Dizi, pozitif gerçel sayı dizisi olduğundan $x=a_{k+1}=\sqrt{k+1}$ olur. Dolayısıyla her $n$ için $a_n=\sqrt{n}$ olur. $a_{100}=10$ olur.