Diklik Merkezi (Orthocenter)

[ERhan ERdoğan]

Problem11. $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yüksekliklerdir. Buna göre,

$a)\ |EF|=|BC|\cdot \cos A$        $b)\ |FD|=|AC|\cdot \cos B$         $c)\ |DE|=|AB|\cdot \cos C$

eşitliklerinin doğruluğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

Problem12. Çevrel çemberinin yarıçapı $R$ olan bir $ABC$ üçgeninin alanı ile, $DEF$ ortik üçgeninin çevresi arasında $$2\cdot A(ABC)=R\cdotÇ(DEF)$$ bağıntısının olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

Problem13. $ABC$ dar açılı üçgen olmak üzere, köşeleri üçgenin kenarları üzerinde bulunan üçgenlerden en küçük çevreli olanı ortik üçgendir. Gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

Problem14. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yükseklikler olmak üzere, $DEF$ üçgeninin çevresinin, $ABC$ üçgeninin yarı çevresini aşamayacağını gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

Problem15. $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yükseklikler olmak üzere,

a) $Ç(DEF)=|AD|\cdot \sin A = |BE| \cdot \sin B = |CF| \cdot \sin C$

b) $|AD|\cdot|BE|\cdot|CF| = Ç(DEF)\cdot A(ABC)$

eşitliklerinin doğruluğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

Problem16. $ABC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi $O$ çevrel çemberin merkezidir. $O$ dan $[BC]$ ye çizilen dikme ayağı $D$ olsun.Buna göre $|AH|=2|OD|$ dir. Gösteriniz. 

[cunomat]

Problem4

[cunomat]

Problem5

[cunomat]

Problem6

[cunomat]

Problem7

[cunomat]

Problem8

[cunomat]

Problem10

[cunomat]

Problem11

[AtakanCİCEK]

Problem 2  Çözümü
Dar açılı Bir $ABC$ üçgeni için,   
$ABC$  üçgeninin $[BF]$  ile $[CE]$ yükseklikleri çizilsin  ve kesiştikleri nokta $D$ olsun.  $[AD$ ışını çizilip $[BC]$'yi kestiği nokta $G$ olsun.  $BFC$  üçgenini katlayarak $FCH$  üçgenini elde edelim.
$m(\widehat{DBC})=\alpha$ , $m(\widehat{DCB})=\beta$ ve $m(\widehat{DCA})=\theta$ olsun. O halde $\alpha + \beta + \theta=90^{\circ}$ tir.    $[EC]\perp [AB]$ bilgisinden dolayı $m(\widehat{DAB})=\theta$ olmalıdır.
$[FC]\perp [BH] $ olduğunu biliyoruz.    Aynı zamanda $\mid BF\mid = \mid FH \mid$ olduğundan $BCHA$  bir deltoiddir.  Açıları yerleştirecek olursak $m(\widehat{AHE})=\theta$  olduğu için $DACH$  bir kirişler dörtgenidir.  $m(\widehat{DAC})=m(\widehat{DHC})=m(\widehat{DBC})=\alpha$ olduğundan dolayı $m(\widehat{AGC})=180-\alpha-\beta-\theta=90^{\circ}$ olarak bulunur.

Dikkat Edilecek olursa $\alpha+\beta<90^{\circ}$ tir.  O halde $DBC$  üçgeni Geniş açılı bir üçgendir.  Daha sonra $[BE]\perp [DC]$ ,$[FC]\perp [DB]$ ve $[DG]\perp [BC]$ olduğundan buradaki $DBC$ üçgeninin yüksekliklerinin kesiştiği yer $A$ noktasıdır.
Aynı zamanda Açıları $(\alpha,\beta,180^{\circ}-\alpha-\beta)$ olduğundan oluşabilecek tüm geniş açılı üçgenler için bu koşul sağlanacağından geniş açılı üçgenler için de ispat biter.

Dik açılı olacak olurlarsa  Dik kenarların kesiştiği nokta bir köşe olduğu için iki yükseklik üçgenin köşesi üzerinde kesişiyor. Diğer yükseklik te bu noktadan çizileceği için ispat bitmiştir.