Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 10

[Dogukan6336]

$x - 2y + xy = 1 + \sqrt {10}$ ve $x^2 + 4y^2 = 13$ olduğuna göre $\left| x-2y-2\right|$ ifadesinin değeri kaçtır ?

$\textbf{a)}\  2\sqrt{2} - \sqrt{5}  \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{10}- 1  \qquad \textbf{c)}\ \sqrt{-2 +\sqrt10 }  \qquad \textbf{d)}\ \sqrt{5} - \sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ -3 + \sqrt{10}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed A$

İlk ifadeden $$(x-2y)^2=(1+\sqrt{10}-xy)^2 \Rightarrow 13-4xy=x^2y^2+11+2\sqrt{10}-xy(2\sqrt{10}-2)\Rightarrow x^2y^2-xy(2\sqrt{10}-2)+(2\sqrt{10}-2)=0$$ bulunur. $$(x-2y-2)^2=(-1+\sqrt{10}-xy)^2\Rightarrow (x-2y-2)^2=x^2y^2-xy(2\sqrt{10}-2)+(11-2\sqrt{10})$$ $$=2-2\sqrt{10}+11-2\sqrt{10}=13-4\sqrt{10}=(2\sqrt{2}-\sqrt{5})^2 \Rightarrow |x-2y-2|=2\sqrt{2}-\sqrt{5}$$ bulunur.