Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 26

[Lokman Gökçe]

$$ \begin{array}{lcr}  x+3y & = & tx \\ x-y  & = & ty \\ x^2+y^2  & = & t^2 \end{array}$$
denklem sisteminin kaç tane reel değerli $(x,y,t)$ çözüm takımı vardır?

$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 9 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Eğer $t=0$ ise $x^2+y^2=0$'dan $(x,y,t)=(0,0,0)$ çözümü gelir. Eğer $x=0$ veya $y=0$ ise yine aynı çözüm gelir. $t\neq 0$ durumunu inceleyelim. İlk iki denklemi birbirine bölersek, $$\dfrac{x+3y}{x-y}=\dfrac{x}{y}\Rightarrow x^2-2xy-3y^2=0 \Rightarrow (x+y)(x-3y)=0$$

$i)$ $x=-y$ ise $x+3y=x-3x=-2x=tx$, buradan $t=-2$ bulunur. $$x^2+y^2=2x^2=4\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$$ Buradan $(x,y,t)=(\sqrt{2},-\sqrt{2},-2),(-\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$ çözümleri gelir.

$ii)$ $x=3y$ ise $x+3y=2x=tx$, buradan $t=2$ bulunur. $$9y^2+y^2=10x^2=4\Rightarrow x=\pm \dfrac{2}{\sqrt{10}}$$ Buradan $(x,y,t)=(\dfrac{2}{\sqrt{10}},\dfrac{2}{3\sqrt{10}},2),(-\dfrac{2}{\sqrt{10}},-\dfrac{2}{3\sqrt{10}},2)$ çözümleri gelir.

Toplam $5$ çözüm vardır.