Fibonacci Dizisi ve Sonsuz Toplam

[Metin Can Aydemir]

$x$ yeterince küçük pozitif bir sayı ve $F_n$; Fibonacci dizisinin $n.$  terimi olmak üzere, $$\sum_{k=1}^{\infty}{x^kF_k}$$ sonsuz toplamını hesaplayınız.

[Dogukan6336]

$F_{k} = F_{k-1} + F_{k-2} , k \geq 3$

ve

$F_{1} = 1 , F_{2} = 1$

olduğu bir kenarda dursun. Ayrıca sorudaki toplama $S$ diyelim.

$S = \sum_{k=1}^{\infty}{x^kF_{k}} = x + x^2 +  \sum_{k=3}^{\infty}{x^kF_{k}} = x + x^2 +  \sum_{k=3}^{\infty}{x^k(F_{k-1} + F_{k-2}) } $

$ = (x^3F_{2} + x^4F_{3} + x^5F_{4} + x^6F_{5} + ....) + (x^3F_{1} + x^4F_{2} + x^5F_{3} + x^6F_{4} + ....) + x + x^2  $

$S = x(S - x) + x^2.S + x + x^2$

$S = Sx - x^2 + x^2.S + x + x^2$

$S(1-x-x^2) = x $

$S= x/1-x-x^2$


Ek soru :  $x = 1/1000$ için $1000/998999 = 0,001001002003005...$ şeklinde 3 basamaklı sayılara kadar fibonacci dizisini verir. Dizinin $Modulo P$ deki ($p$ asal) rakamlarını veren üretici fonksiyonu bulun.