Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2001 Soru 2

[ERhan ERdoğan]

$N > 1$ tam sayısını, kendisinden küçük pozitif tam sayıların her birine bölüp, bu bölümlerin bıraktığı kalanları topluyoruz. Bu toplam $N$ den küçükse, $N$ nin alabileceği bütün değerleri bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

$i)$ $N$ çiftse,
$\dfrac{N}{2}+1$'den $N-1$'e kadar olan sayılar için sorudaki işlemi uygulayıp toplarsak elde edeceğimiz toplamın $N$'den küçük olması gerektiği aşikardır.Bu toplamdan,  $$1+2+\cdots +(\dfrac{N}{2}-1)=\dfrac{(\dfrac{N}{2}-1)\cdot (\dfrac{N}{2})}{2}<N\Rightarrow N<10$$ bulunur.$N$ çift olduğundan $8,6,4,2$ olabilir. Denersek, $2,4,6$'nın sağladığını görürüz.
$ii)$ $N$ tekse,
Aynı işlemi $\dfrac{N-1}{2}+1$'den $N-1$'e kadar olan sayılar için yaparsak $N<8$ bulunur. $N$ tek olduğundan $3,5,7$ olabilir.Denersek sadece $3,5$ sağlar.

Dolayısıyla $N$'nin alabileceği değerler $2,3,4,5,6$ olur.