$\text{ArtOfMathsolving}$
Düzenlersek,
$p^2(p-1)(p^2+p+1)=q(q+1) \Rightarrow \dfrac{q}{p}=\dfrac{(p-1)(p^2+p+1)}{q+1}$. Öyleki $p$ ve $q$ birbirinden farklı $2$ asal olsun. O halde $\dfrac{(p-1)(p^2+p+1)}{q+1}$ ifadesi tamsayı olmayacaktır. $q+1 \not\mid p-1$ veya $q+1\not\mid p^2+p+1$ olmalı. $p$ ve $q$ ikiz asal olamaz. Öte yandan $q\not \mid p(p+1) \Rightarrow q\not\mid p$ olduğu için, $q\not\mid p+1$ dir. Yani $p,q \rightarrow 2,3$ olamaz.
$p=q=2$ olmadığı aşikar. $p$ veya $q$ dan biri $2$ olsun. $\Rightarrow 28 = q(q+1)$ denkleminin asal sayılarda çözümü yoktur. $\Rightarrow 6 = p^2(p^3-1)$ denkleminin çözümü yoktur çünkü , $p^2$, $6$ nın çarpanı olamaz.
Şimdide $p,q>2$ olsun. $p=3k+1$ yazalım. Sol taraf $3$ e bölüneceğinden, $q=3$ olmak zorunda, $12 = p^2(p^3-1)$ denkleminin çözümü yoktur , çünkü $p^2$ ancak $4$ olabilir fakat bu durumda eşitlik sağlanmaz.
$q=3k+1$ olsun. Sağ taraf $\pmod3$ te $2$ ye denk olduğundan, sağ taraf ta $2$ ye denk olmalı. Yani $p^2(p^3-1) \equiv 2 \pmod3$ olmalı.
$p^2 \equiv 0,1 \pmod3$ olduğundan, $p^2(p^3-1)$ ifadesi $2$ ye denk olabilmesi için, $p^2 \equiv 1\pmod3$ olmalı. Denklikte yerine yazarsak, $p^2(p^3-1) \equiv p-1 \equiv 0,1 \pmod3$ Çelişki ! Demekki $q \not=3k+1$ miş.
$p=3k+2$ olsun. Sol taraf $\pmod3$ te $1$ kalanını verir. O halde $q(q+1)\equiv 1 \pmod3$ olmalı. Fakat $q \equiv 0,1,2 \pmod3 $ için denkliğin çözümü yoktur.
son olarak $q=3k+2$ olsun. Sağ taraf $3$ e bölüneceğinden, $p^2(p^3-1) \equiv 0 \pmod3$ olmalı. Bu durumda da $p \equiv 0 \pmod 3$ olmalı. fakat $p=3$ için çözüm gelmediğini görmüştük.
O halde Denklemin Asal sayılarda çözümü yoktur.
umarım bir hatam yoktur, iyi çalışmalar...
