I. Aşama Denemesi

[president_of_uganda]

2. sorunun çözümünü yazabilir misiniz lütfen?

[Squidward]

$2.$ soru:

$a^2+1 = (a+b)(a+c)$ olduğu farkedilirse, $(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2 = 3^x-5^y$ elde edilir. $(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2 = n^2$ denirse $3^x-5^y = n^2$ denklemi elde edilir, açıktır ki $n$ çifttir, $(-1)^x - 1 = 0 \pmod 4$ den $x=2k$ olması gerektiği görülür.

Denklem düzenlenirse, $(3^k-n)(3^k+n) = 5^y$, $3^k-n = 5^t$ ve $3^k+n=5^l$ elde edilir, taraf tarafa toplanırsa $3^k = \dfrac{5^t+5^l}{2}$ elde edilir son elde edilen denklemde sağ taraf her zaman $5$'e bölüneceğinden $l = 0$ olmalıdır. $2 \cdot 3^k = 5^t+1$ denkleminde $k > 1$ için $5^t+1 \equiv 0 \pmod 9$ denkliğinden $t = 6m+3$ olması gerektiği görülür fakat $5^{6m+3} + 1 \equiv 0 \pmod 7$ olduğundan ve denklemin sol tarafı $7$'ye bölünmediğinden çelişki, $k=1$ olmalıdır, devamında $a=1$ bulunur ve $n^2 = 4$ elde edilir.

Durum 1: $(a+b)(a+c)(b+c) = 2$, simetri ve $ab+bc+ac = 1$ göze alınarak durum incelenirse tüm çözümlerin $(a,b,c) = (1,1,0)$ ve permütasyonları olduğu görülür, 3 çözüm vardır.

Durum 2: $(a+b)(a+c)(b+c) = -2$, $a = -a'$, $b = -b'$, $c=-c'$ değiştirmeleri yapılırsa $(a'+b')(a'+c')(b'+c') = 2$ elde edilir, bu $1.$ durumdur, çözümleri $(a',b',c') = (1,1,0)$ ve permütasyonlarıdır, değiştirmeler geri alınırsa $(a,b,c) = (-1,-1,0)$ elde edilir 3 çözüm vardır.

Toplam $6$ çözüm vardır, cevap E şıkkı.

[AtakanCİCEK]

3)   Bu soruda eşitsizlik daima sağlandığına göre $x=y=z=t$ alırsak da sağlanmalıdır. $$3t \geq 4t^2 .3 . \dfrac{(2-t) (t-2)+K}{(4t+1)^2}$$ Buradan $K$ yı yalnız bırakırsak $$K \leq (t-2)^2+ \dfrac{(4t+1)^2}{4t^2}=5+\dfrac{(2t^2-4t-1)^2}{4t^2}$$ olarak yazabiliriz. Ayrıca bu eşitsizliğin daima sağlanması gerektiğinden ve  eşitsizliğin sağ tarafının en az $5$  olduğunu ve bu değeri almasını sağlayan bir $t$ değeri olduğundan dolayı $K$ maksimum $5$ olabilir. $K=5$  için eşitsizliğin sağlandığını gösterebilirsek ispat biter.

$K=5$  alıp sağdaki terimlerden birine odaklanalım. $$\dfrac{2x+2y+1-xy}{(2x+2y+1)^2}$$ olur. Sadeleştirmek için $2x+2y+1=a$  dersek  İfademizin payında $A-xy$  bulunduğunu görebiliriz. Bunu kullanabilmek için $$(A-2xy)^2=A^2-4Axy+4x^2y^2\geq 0$$ Buradan $$A^2\geq 4xy(A-xy)$$ $A\not = 0$ olduğundan  $$1 \geq \dfrac{4xy(A-xy)}{A^2}$$ elde edilir. Benzer şekilde

$$1 \geq \dfrac{4yz(A-yz)}{A^2}$$ ve $$1 \geq \dfrac{4xz(A-xz)}{A^2}$$ olur. Buradan eşitsizlikleri sırasıyla $z,x,y$ ile genişletirsek ve taraf tarafa toplarsak $K=5$  durumunu ispatlamış oluruz.

[AtakanCİCEK]

6) Bu soruda $m=0$ olduğu gösterildikten sonra kalan denklemin herhangi bir yöntemle çözülebilir durmuyor ancak $(5,7,0,2)$  şeklinde bir çözüm olduğu görülebiliyor. Cevap anahtarının $0$ çözüm olduğunu söylemesinden dolayı $m$ in pozitif olması şartının soruda unutulmuş olduğunu düşünüyorum. $m$ i pozitif kabul ederek çözüm :

 $$2^m+4p^3+p+q^2=3^n+q^3+4q+7p^2$$ denklemine $\pmod 2$ altında bakarsak $$2^m+p+q^2\equiv 1+q^3+p^2 \pmod 2$$ $$2^m+p+q \equiv 1+q+p \pmod 2$$ yani $$2^m \equiv 1 \pmod 2$$ elde edilir ve  $m$ pozitif olduğu için bu denklemin çözümü yoktur.