İyi Sayı

[MATSEVER 27]

Ardışık $3$ tamsayının kareleri toplamının $1$ fazlası olarak yazılabilen sayılara $\textit{iyi sayı}$ diyelim. $3$ asal sayının çarpımı olarak yazılan sayılara $\textit{mutlu sayı}$ diyelim. Hem iyi hem de mutlu olan sayıların kümesi $\mathcal{F}$ olsun. Bu kümedeki sayıların asal çarpanları bir $\mathcal{S}$ kümesi oluştursun. Bu kümede ilk $100$ sayıdan en çok kaçı bulunabilir?

$\textbf{a)}$ $10$  $\qquad$ $\textbf{b)}$ $11$  $\qquad$ $\textbf{c)}$ $23$  $\qquad$ $\textbf{d)}$ $24$  $\qquad$ $\textbf{e)}$ $25$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{D}$

Bir sayı hem $\textit{mutlu sayı}$ hem de $\textit{iyi sayı}$ ise $k\in \mathbb{Z^{+}}$ olmak üzere, $3k^2+6k+4\equiv 1 \pmod4$ olmalı. Yani $k\equiv 1\pmod4$ olmalı. $k=4m+1$ yazarak düzenlersek, $3 (16 m^2+16 m+5)=pqr$ buluruz. $p,q$ veya $r$ den biri $3$ olmalı, ayrıca çarpanlar arasında $2$ bulunmamalı. Çünkü bulunursa hem $\textit{iyi sayı}$ hem de $\textit{mutlu sayı}$ koşulu sağlanmaz. $100$ den küçük $25$ asal sayı var. $p=3$ kabul ederek, $r,q$ yu $2$ hariç $24$ asal arasından seçebiliriz. Yani en fazla $24$ tane bulunabilir.