Gergonne Teoremi Problemi {çözüm}

[ArtOfMathSolving]

Bir $\triangle ABC$ üçgeninin ,iç teğet çemberinin sırasıyla $BC,AC$ ve $AB$ kenarına değme noktaları $D,E$ ve $F$ olsun.$BC$ ye $D$ noktasında teğet olan $k_{1}$ çemberi,aynı zamanda bir $M$ noktası için $\triangle BCM$ üçgeninin içteğet çemberidir. $k_{1}$ çemberi $BM$ ye ve $CM$ ye sırasıyla $P$ ve $Q$ noktalarında değiyorsa,$EF$ , $BC$ ve $PQ$'nun tek noktada kesiştiğini gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Seva'dan $BQ$,$CP$ ve $MD$ tek noktada kesişir.Benzer şekilde $AD$,$BE$ ve $CF$'de tek noktada kesişir.Yani $PQ$ ile $BC$'nin kesiştiği noktaya $K$ dersek $MCKP$ tam dörtgen olur. Buradan $M.(KDBC)$ harmonik demet olduğu bulunur.Benzer şekilde $FE$ ile $BC$'nin kesişime $K'$ dersek $A.(K'DBC)$'de harmonik demet olur. $K'DBC$ ve $KDBC$'nin aynı anda harmonik olması için $K'=K$ olmalıdır ve soru biter.