Tip 1 Eşitsizlikleri: Tüm $x,y,z \ge 0$ için geçerlidir.
$$ \sqrt {\left(z + x\right)\left(x + y\right)} +\sqrt {\left(x + y\right)\left(y + z\right)}+\sqrt {\left(y + z\right)\left(z + x\right)} \geq x + y + z + \sqrt3\cdot\sqrt {yz + zx + xy}$$
$$\sqrt {\left(z + x\right)\left(x + y\right)} +\sqrt {\left(x + y\right)\left(y + z\right)}+\sqrt {\left(y + z\right)\left(z + x\right)} \leq \dfrac{ 3(x+y+z)+\sqrt{3(yz+zx+xy)}}{2}$$
Tip 2 Eşitsizlikleri: Tüm $x,y,z \ge 0$ ve $x+y+z=3$ için geçerlidir.
$$\displaystyle\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge 4\left(\frac{1}{x+7}+\frac{1}{y+7}+\frac{1}{z+7}\right)$$
$$\displaystyle\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge 2\left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}+\frac{1}{z+3}\right)$$
Tüm $x,y,z \ge 0$ için geçerlidir.
$$\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+c}+\frac{2}{b+c}\geq\frac{5}{3a+b+c}+\frac{5}{3b+a+c}+\frac{5}{3c+a+b}$$
$$\sum_{cyc}\frac{x+2y}{x+2z}\geq3$$
