Bu integral elementer fonksiyonlarla ifade edilemeyecek olduğundan verilen aralıkta seri çözümü yapmamız gerekecek.
İlk olarak ${x}^{x} = {\left({e}^{\ln {x}} \right)}^{x} = {e}^{x\ln {x}}$ olarak değiştirelim. ${e}^{x} = \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( x\right) }^{ n } }{ n! } }$ olduğunu biliyoruz ve bu ifade dönüşüm yapılınca ${e}^{x \ln {x}} = \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( x \ln{x} \right) }^{ n } }{ n! } }$ haline gelir. Toplam ve integral notasyonunun sırasını değiştirebildiğimizden integral aşağıdaki hale gelir.
$\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ x } } dx=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { { x }^{ n }\left( \ln {x} \right) }^{ n } }{ n! } } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n! } \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx }$
Şimdi ise $ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx $ integralini inceleyelim:
$u = {\left(\ln {x} \right)}^{n}$, $ dv = {x}^{n} dx $, $du = \frac{{n \left(\ln {x} \right)}^{n-1}}{x} dx$ ve $v=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}$ deyip kısmi integrasyon uyguladığımızda
$\lim _{ a\rightarrow 0 }{ \int _{ a }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx } =\lim _{ a\rightarrow 0 }{ { \left[ \frac { { x }^{ n+1 } }{ n+1 } { \left( \ln { x } \right) }^{ n } \right] }_{ a }^{ 1 } } -\lim _{ a\rightarrow 0 }{ \int _{ a }^{ 1 }{ { \frac { n }{ n+1 } x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n-1 } } dx$ eşitliğini elde ederiz. Eşitliğin sağ tarafında dikkat edersek ilk ifadenin limiti 0 a gidecektir. Sağdaki integrale de yeniden kısmi integrasyon uygulandığında aradaki örüntü kolayca görülebilir. Yani buradan şu indirgeme bağıntısı çıkar:
${ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ m }dx } =-\int _{ 0 }^{ 1 }{ { \frac { m }{ n+1 } x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ m-1 }dx$
Bu indirgeme bağıntısını kullanarak $ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx $ integralini n defa indirgersek $ \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx = \frac{{(-1)}^{n}n!}{{(n+1)}^{n}}\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } }dx=\frac{{(-1)}^{n}n!}{{(n+1)}^{n+1}}$ sonucuna varırız.
$\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n! } \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx }$ toplamında integrali yerine koyduğumuzda $\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ x } } dx=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ n} }{ (n+1)^ { n+1 } } }$ ve indisi değiştirdiğimizde de $\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ x } } dx=\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ n-1 } }{ { n }^{ n } } }$ sonucunu buluruz.
