Eşitsizlik 192{çözüldü}

[ArtOfMathSolving]

$x,y,z\in \mathbb{R^{+}}$ ve $xyz=1$ olmak üzere,

                    $\begin{align*}\sum_{cyc}\dfrac{z(y+z)}{y^2+z^2+yz}\le 3 \end{align*}$

olduğunu gösteriniz.

[Eray]

$(x,y,z)=(10,1,\dfrac{1}{10})$ için eşitsizlik sağlanmaz.

[ArtOfMathSolving]

Haklısınız, eşitsizlik $3$ ten küçük olmalı. Dediğiniz, sayıların sonucu $2.99$ çıkıyor.

[Eray]

$\le3$ olduğu çok açık. $x,y,z$ pozitif olduğundan,

$\dfrac{y(x+y)}{x^2+y^2+xy}+\dfrac{z(y+z)}{y^2+z^2+yz}+\dfrac{x(z+x)}{z^2+x^2+zx}<\dfrac{x^2+y(x+y)}{x^2+y^2+xy}+\dfrac{y^2+z(y+z)}{y^2+z^2+yz}+\dfrac{z^2+x(z+x)}{z^2+x^2+zx}=3.$ $\blacksquare$

[MATSEVER 27]

Ancak bu eşitsizlik her $x,y,z$ için doğrudur. $$\begin{align*}\sum_{cyc}\sqrt{\dfrac{z(y+z)}{y^2+z^2+yz}}\le \sqrt{6} \end{align*}$$