Kombinatorik Sorusu 27

[MATSEVER 27]

$A=\{1,2,3,\cdots,10 \}$ kümesinin her $x$ elemanı için $f(f(x))=x$ eşitliğini sağlayan  kaç $f:A \to A$ fonksiyonu vardır?

[ArtOfMathSolving]

$A$ kümesininin sabit noktaları $1,3,5,7,9$ dur. Bu şekilde sabit fonksiyon sayısı;

$9\choose{1}$$ . 7 . 5 . 3 . 1=105$
$9\choose{3}$$ . 5 . 3 . 1= 1260$
$9\choose{5}$$ . 3 . 1= 378$
$9\choose{7}$$ . 1=36$
$9\choose{9}$$=1$

Ve toplam $105+1260+378+36+1=1780$ tanedir.

(Bu sorunun Tıpatıp versiyonu $2012$ Ulusal Matematik Olimpiyatında $4$. Soru olarak çıkmıştır.)