EŞİTSİZLİK 164

[MATSEVER 27]

$a+b+c=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{ab^2}{a^2+b^2}+\frac{bc^2}{b^2+c^2}+\frac{ca^2}{c^2+a^2} \le \frac{1}{2}$$
olduğunu gösteriniz.

[alpha]

$a^2+b^2\geq2ab\Rightarrow\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2ab}$

$\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}+\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}+\dfrac{ca^2}{c^2+a^2}\le\dfrac{ab^2}{2ab}+\dfrac{bc^2}{2bc}+\dfrac{ca^2}{2ca}=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}$