EŞİTSİZLİK $66$

[MATSEVER 27]

Tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için;
$$x+y+z \ge 4xyz \left( \dfrac{(2-x)(y-2)+K}{(2x+2y+1)^2}+\dfrac{(2-y)(z-2)+K}{(2y+2z+1)^2}+\dfrac{(2-z)(x-2)+K}{(2z+2x+1)^2} \right)$$
olmasını sağlayan en büyük $K$ gerçel sabitini bulunuz ve bu $K$ gerçel sabiti için eşitlik durumunu bulunuz.

$\text{(MatSeveR 27)}$

[MATSEVER 27]

Tamsayı değerler vererek $K$ nın yaklaşık olarak $5$ olduğu tahmin edilebilir. Biz $K=5$ sağladığını gösterelim ve bir eşitlik durumu bulalım.

Bizim $\dfrac{1}{4xy} \ge \dfrac{(2-x)(y-2)+5}{(2x+2y+1)^2}$ olduğunu göstermemiz kafidir. İfadeyi düzenlersek $\dfrac{1}{4xy} \ge \dfrac{-xy+2x+2y+1}{(2x+2y+1)^2}$ göstermeliyiz. $x+y=a,xy=b$ diyelim. Öncelikle ifademizi düzenlemeye devam edelim. Bizim;
$$\dfrac{1}{4b} \ge \dfrac{2a-b+1}{(2a+1)^2}$$
yani $(2a+1)^2 \ge 4b(2a-b+1) \Rightarrow 4a^2+4b^2+4a+1 \ge 8ab+4b$ göstermemiz yeterli. Bu da $(2b-(2a+1))^2 \ge 0$ dan doğrudur. Eşitlik ise $x=y=z$ için $2x^2-4x-1=0$ yani $x=y=z=\dfrac{\sqrt{6}+2}{2}$ için sağlanır. Sonuç olarak $(K)_{max.}=5$ idir. İspat biter.

(2015 Türkiye II. Aşamadan esinlenilmiştir.)