fermat teoremi

[MATSEVER 27]

$p,q,r$ farklı asal sayılar olmak üzere $p^q \equiv r$ $\text{(mod}$ $q)$ , $q^r+3^r \equiv p$ $\text{(mod}$ $r)$ ve $2^p+3^q+4^r \equiv 0$ $\text{(mod}$ $qr)$ eşitlikleri sağlanıyor. O halde $(2^r+4^r)(8.2^q+3^q)$ ifadesinin $\text{(mod}$ $q)$ ve $\text{(mod}$ $r)$ deki kalanları toplamı nedir?

$\mathbf{a)}$ $-109$                    $\mathbf{b)}$ ${ -81}$                    $\mathbf{c)}$ ${ -53}$                    $\mathbf{d)}$ ${ -21}$                    $\mathbf{e)}\text{ Hiçbiri}$

[ArtOfMathSolving]

$r=43,q=2,p=5$ olarak almamız mümkün müdür ?

[MATSEVER 27]

Çoktan seçmeli bir sınavda elbette ancak gerçek çözümün olması sanki biraz daha iyi olacaktır.

[ArtOfMathSolving]

Fermat'tan biliyoruz ki $3^r+q^r\equiv q+3 \left( mod r\right)$ Son denklikte yerine yazılırsa; $8.2^q+3^q\equiv -4^r \left( modqr\right) \Rightarrow -4^r \equiv -4 \left( modr\right), -4^r \equiv -64 \left( mod q\right)$.
$1$. denklikten $ r \equiv q+3 \left( modq\right) \Rightarrow \boxed{r \equiv 3 \left( modq\right)}$ diyebiliriz.
$(2^r+4^r)(8.2^q+3^q) \equiv 0 \left( modq\right)$
$(2^r+4^r)(8.2^q+3^q) \equiv -12\left( modr\right)$

$-12+0=\boxed{-12}$ bulunur.

Yanıt:$\boxed{E}$
 hata veya yanlışlık olduysa lütfen düzeltin iyi çalışmalar...