EŞİTSİZLİK $47$

[MATSEVER 27]

Tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc} \ge \dfrac {a+b}{a^2+b^2}+\dfrac {b+c}{b^2+c^2}+\dfrac {c+a}{c^2+a^2}$$
olduğunu gösteriniz.

[matematik fatihi]

$\text{Cauchy-Schwarz}$ eşitsizliğinden $2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2$ ve $\dfrac{2}{a+b} \ge \dfrac {a+b}{a^2+b^2}$ olur. $\text{Aritmetik-Harmonik Orta}$ dan $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$ olur. Benzer şekilde yapılıp taraf tarafa toplanırsa $ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac {a+b}{a^2+b^2}+\dfrac {b+c}{b^2+c^2}+\dfrac {c+a}{c^2+a^2}$ olur. $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ olduğundan eşitsizlik doğrudur.