EŞİTSİZLİK $37$

[MATSEVER 27]

$a,b,c,d$ pozitif gerçel sayıları;
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$$
eşitliğini sağlasın. Buna göre tüm $a,b,c,d$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\dfrac{a+b}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b+c}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c+d}{c^2-cd+d^2}+\dfrac{d+a}{d^2-da+a^2} \le 2$$
olduğunu gösteriniz.

[matematik fatihi]

$\text{(Matematik Fatihi):}$
Aşağıdaki ifadede kesirleri $\dfrac{(a+b)^2}{a^3+b^3}$ şeklinde genişletelim. $\text{Cauchy-Schwarz}$ eşitsizliğinden $(a^3+b^3)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \ge (a+b)^2$ yani $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{(a+b)^2}{a^3+b^3}$ dir. Benzer şekilde yapılıp toplanırsa; $2=2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}) \ge \dfrac{a+b}{a^2-ab+b^2}+\dfrac{b+c}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{c+d}{c^2-cd+d^2}+\dfrac{d+a}{d^2-da+a^2}$ olur ve ispat biter.