EŞİTSİZLİK $12$

[MATSEVER 27]

$x,y,z$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere;
$${\dfrac{x^3}{2x+2yz-1} +\dfrac{y^3}{2y+2xz-1} +\dfrac{z^3}{2z+2xy-1} \le 1}$$
eşitsizliği sağlanıyorsa $3xyz$ $\le$ $xy+yz+zx$ olduğunu gösteriniz.

[matematik fatihi]

$\text{(Matematik Fatihi:)}$
$(x-1)^2 \ge 0 \rightarrow x^2 \ge 2x-1$ ve $(y-z)^2 \ge 0 \rightarrow y^2+z^2 \ge 2yz$ dir. $x^2+y^2+z^2 \ge 2x+2yz-1$ olur. Tüm ifadeyi aynı şekilde düzenlersek ifademiz $F$ olmak üzere $F \ge \dfrac{x^3+y^3+z^3}{x^2+y^2+z^2}$ olur. $1 \ge F$ idir. $x^2+y^2+z^2 \ge x^3+y^3+z^3$ olur. $\text{Cauchy-Schwarz}$ eşitsizliğinden $(x+y+z)(x^3+y^3+z^3) \ge (x^2+y^2+z^2)^2$ dir. Buradan $x+y+z \ge x^3+y^3+z^3$ olur. $\text{Hölder}$ eşitsizliğinden $3.3.(x^3+y^3+z^3) \ge (x+y+z)^3$ idir. Buradan $9 \ge (x+y+z)^2 \rightarrow 3\ge x+y+z$ olmalıdır. Buradan $\text{Aritmetik-Harmonik Ortadan}$ $1\ge \dfrac{x+y+z}{3} \ge \dfrac{3}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+ \dfrac{1}{z}} \rightarrow xy+yz+zx \ge 3xyz$ olur ve ispat biter.