$x^2+5=y^3$ eşitliğini sağlayan tüm $x,y$ doğal sayılarını bulunuz {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$x^2+5=y^3$ eşitliğini sağlayan tüm $x,y$ doğal sayılarını bulunuz.

[AtakanCİCEK]

$y^2=x^3+23$ denklemindeki yapıyı andırıyor.  O soruda  $4$  ekleyince oluşan yapı bu soruda

$x^2+4=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$ olarak önümüze geliyor.  klasik $4k+3$ formunda $p$ asalı $x^2+4$ içinde varsa $p|x$ ve $p|2$ sağlanmalıdır. Dolayısıyla böyle bir asal olamaz.

$y\equiv 1(mod4)$ olsun. $y^2+y+1\equiv 3(mod4)$  gelir. En az $1$ adet $p$ asalı içerir.

$y\equiv 2(mod4)$  olsun.  $x^2\equiv 3(mod4)$ gelir. Kare kalan değildir.

$y\equiv 3(mod4)$ olsun.  $x^2\equiv 2(mod4)$ gelir. Kare kalan değildir.

$y\equiv 0(mod4)$ olsun. O halde $y-1\equiv 3(mod4)$ gelir. En az $1$ adet $p$ asalı içerir.

Dolayısıyla çözümsüzdür.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Önce parite incelemesi yapalım. Eğer $x$ tek sayı olursa $x^2 \equiv 1 \pmod{4}$ olup $y^3 \equiv 1 + 5 \pmod{4} \equiv 2 \pmod{4}$ bulunur. Fakat $2$, modülo $4$ içinde hiçbir sayının küp kalanı değildir, çelişki. O halde $x$ çift sayı olsun. Bu halde $y$ tek sayı olmalıdır. $y^3 \equiv x^2 + 5 \pmod{4} \equiv 1 \pmod{4}$ olduğundan tek uygun çözüm $y\equiv 1 \pmod{4}$ elde edilir.

Şimdi $x^2 +4 = y^3 - 1$ olup $x^2 +4 = (y-1)(y^2 + y + 1)$ şeklinde çarpanlara ayıralım. $y^2 + y + 1 \equiv 1 + 1 + 1 \pmod{4} \equiv 3 \pmod{4}$ elde ederiz. O halde $y^2 + y + 1$ tek sayısının tüm asal çarpanları $4k+1$ formunda olamaz. En az bir $p$ tek asalı için $p\mid y^2 + y + 1 $ ve $p\equiv 3 \pmod{4}$ olmalıdır. Şimdi $p\mid x^2 + 4$ olduğunu da kullanalım.
$$ x^2 \equiv -4 \pmod{p}$$
yazılır. $4$'ün kendisi tam kare olduğundan, kare kalandır. Öyleyse Legendre sembolü özelliklerine göre $-1$ sayısı da modülo $p$'de kare kalan olmalıdır. Fakat bunun $p\equiv 3 \pmod{4}$ biçimindeki asallar için mümkün olmadığını iyi biliyoruz. ($p=2$ veya $p\equiv 3 \pmod{4}$ biçimindeki asal modlarda $-1$ kare kalandır.) Dolayısıyla bu halde de çelişki elde edilir.

Sonuç olarak, bu $x^2 = y^3 + 5$ Mordell denkleminin tam sayılarda çözümü yoktur.