EŞİTSİZLİK $95$ { çözüldü }

[MATSEVER 27]

$abcd=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c,d$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2} \geq 1 $$
olduğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

Çözüm:

$\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}\geq \dfrac{1}{ab+1}.... (1) $
$\dfrac{1}{(c+1)^2}+\dfrac{1}{(d+1)^2}\geq \dfrac{1}{cd+1}.....(2)$

$(1)$ ve $(2)$yi taraf tarafa toplarsak;
 
ifademize $A$ diyelim;

$A\geq \dfrac{1}{(ab+1)}+\dfrac{1}{(cd+1)} \Rightarrow \dfrac{ab+cd+1+1}{abcd+ab+cd+1} = 1$ olur ispat biter

(NOT:$\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}\geq \dfrac{1}{ab+1}$ olduğunu Cauchy-Schwarzdan görebiliriz)