Diyafont Denklemler Çalışma Soruları {PDF haline getirilmiştir. Ektedir.}

[matematikolimpiyati]

119)   $4xy-x-y$  nin tam kare olmadığını göstermek için çelişki kullanalım. Varsayalım ki tam kare olsun o halde $$4xy-x-y=k^2 ,k\in Z^+$$ vardır. ($k=0$ için test kolayca yapılabilir.) $$4xy-x-y=x(4y-1)-\dfrac{1}{4}(4y-1)-\frac{1}{4}=k^2$$ $$4x(4y-1)-(4y-1)=4k^2+1$$ olur yani.  $$4y-1|4k^2+1$$ olur bu da bize şunu verir:
Öyle bir $p\equiv 3(mod4)$  olacak $p$ asalı vardır ki $p|4k^2+1$  sağlanır. $2k=m , m\in Z^+$  alalım daha genel bir ispatını verelim.

bize bu bölünebilme $m^2\equiv -1(modp)$ verir. Aynı zamanda Femat'ın klasik teoreminden $$a^{p-1} \equiv 1(modp)$$ olduğunu biliyoruz. ve $p>2$  için $p$ daima tektir O halde aşağıdaki işlemleri yapabiliriz.

$$a^{p-1}\equiv (a^2)^{\frac{p-1}{2}}(modp)$$
$$(-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(modp)$$
$$\frac{p-1}{2}$$ çift olmalıdır.  bu da bize $p\equiv 1(mod4)$ verir. Çelişki.  O halde  hiçbir $m^2+1$  formatındaki bir sayının $3(mod4) $ formatında asal böleni olamaz. Bu da bize orijinal sorumuzu ispatlar.

Öte yandan $n \in \mathbb Z^+$ olmak üzere $x=-1$, $y=-5n^2-2n$ ve  $z=-5n-1$ alarak $4xy-x-y=z^2$ denkleminin negatif tam sayılarda sonsuz çözüme sahip olduğunu da görmüş oluyoruz.

[AtakanCİCEK]

119)   $4xy-x-y$  nin tam kare olmadığını göstermek için çelişki kullanalım. Varsayalım ki tam kare olsun o halde $$4xy-x-y=k^2 ,k\in Z^+$$ vardır. ($k=0$ için test kolayca yapılabilir.) $$4xy-x-y=x(4y-1)-\dfrac{1}{4}(4y-1)-\frac{1}{4}=k^2$$ $$4x(4y-1)-(4y-1)=4k^2+1$$ olur yani.  $$4y-1|4k^2+1$$ olur bu da bize şunu verir:
Öyle bir $p\equiv 3(mod4)$  olacak $p$ asalı vardır ki $p|4k^2+1$  sağlanır. $2k=m , m\in Z^+$  alalım daha genel bir ispatını verelim.

bize bu bölünebilme $m^2\equiv -1(modp)$ verir. Aynı zamanda Femat'ın klasik teoreminden $$a^{p-1} \equiv 1(modp)$$ olduğunu biliyoruz. ve $p>2$  için $p$ daima tektir O halde aşağıdaki işlemleri yapabiliriz.

$$a^{p-1}\equiv (a^2)^{\frac{p-1}{2}}(modp)$$
$$(-1)^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(modp)$$
$$\frac{p-1}{2}$$ çift olmalıdır.  bu da bize $p\equiv 1(mod4)$ verir. Çelişki.  O halde  hiçbir $m^2+1$  formatındaki bir sayının $3(mod4) $ formatında asal böleni olamaz. Bu da bize orijinal sorumuzu ispatlar.

Öte yandan $n \in \mathbb Z^+$ olmak üzere $x=-1$, $y=-5n^2-2n$ ve  $z=-5n-1$ alarak $4xy-x-y=z^2$ denkleminin negatif tam sayılarda sonsuz çözüme sahip olduğunu da görmüş oluyoruz.

Negatifte sağlanan örneği görünce çözümde bir tarama yapmak istedim. Negatif sayılarda $4y-1|4k^2+1$  dediğimiz için ve $y=-y'$ , $y\in Z^+$ tanımlayabileceğimiz için $4y'+1|(4k^2+1)$ geliyor yani $3(mod4)$  tipi asal çarpanın $4k^2+1$ i garanti bölememiş olduğunu görüyoruz. Bunu da eklemek istedim.

Not: Tüm soruların ve çözümlerinin PDF haline getirilmiş halini bu gönderiye de ekledim. Soruların bulunduğu gönderinin en altında da mevcut.PDF'te eksik kalan bir şeyler veya çözümlerde eksik/hatalı bir şeyler görürseniz söyleyebilirseniz çok güzel olur.

PDF'in Son güncellenme tarihi $06.09.2025$. Bazı yazım hataları ve bir sorunun çözümü düzeltildi. 114. Sorunun çözümü hatalı, vakit bulduğumda düzeltmeye çalışacağım.

[AtakanCİCEK]

101) $3^k=m^2+n^2+1$ denkleminde $3^k-1=m^2+n^2$ denkleminin tümevarım yardımıyla ispatı da mümkün (Asal bölen analizlerine girilmeden).  $k=2^x$ formatında seçip yaparsak $3^{2^x}-1$  ifadesi $x\geq 1$ için $m^2+0^2$ formatında yazılamayacağı için bu ifade $2$  kare toplamı ise bu kare toplamı aynı zamanda $2$ pozitif tam kare toplamı şartını da sağlar. Dolayısıyla

$x\geq 1$ için $3^{2^x}-1$ in iki kare toplamı olduğunu göstermek yeterlidir.

Tümevarım temel adımı için $x=1$ in $8=4+4$ olarak yazılabildiğinden doğrudur.

Varsayalım ki $3^{2^x}-1$ iki kare toplamı olarak yazılabilsin. Bu durumda $$a^2+b^2=3^{2^x}-1$$ ,  $a,b\in \mathbb{Z}$ sağlanır.

$3^{2^{x+1}}-1=(3^{2^x}-1)(3^{2^x}+1)$ olduğundan  $3^x=c$ ve $1=d$ olarak tanımlarsak  $$3^{2^{x+1}}-1=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a_0^2+b_0^2$$ olacak şekilde $a_0,b_0\in \mathbb{Z}$   olduğunu görürüz.  Bu da Brahmagupta Identityden geliyor    https://geomania.org/forum/index.php?topic=9576.0        burada pozitif tam sayı versiyonunu da yapmıştım ve $3^{2^x}-1$  formatındaki ifade iki tam kare toplamıysa aynı zamanda $2$ pozitif tam kare olması gerektiğini de belirttiğimiz için tümevarım. $k=2^x$ formatındaki her $x$  için en az $1$ adet pozitif $m,n$ değeri bulunur ve sonsuz sayıda $x$ seçilebileceği için denklemin sonsuz sayıda çözümü bulunur.