Problemin tam çözümünü şimdi veremeyeceğim ancak fikir vermesi bakımından bazı özel $n$ değerleri üzerinden ilerleyebiliriz.
$n=5$ tek sayısı için $ \{ 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9 \}$ kümesinden $6$ eleman seçmeliyiz. $\mod 5$ e inceleme yapalım. Farkları $5$ olan $(9,4), (8,3), (7,2), (6,1)$ ikililerinden üç tanesini ($n-1$ in yarısından $1$ fazlasını) seçersek ya ikisinin birinci bileşenlerinin toplamı üçüncünün birinci bileşenini veriyor ya da ikinci bileşenler için bu durum geçerli oluyor. $(9,4), (8,3), (7,2), (6,1)$ ikililerinden iki tane seçip bir başkasından bir bileşen seçersek son sayı olarak $5$ i seçmeliyiz. Bu durumda istenen özellik açıkça sağlanır. Örneğin sadece $4, (7,2), (6,1)$ seçildiyse $5$ i de seçmek zorunda olduğumuz için $2+5=7$ sağlanır.
$n=4$ çift sayısı için $ \{ 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 \}$ kümesinden $5$ eleman seçmeliyiz. $\mod 4$ e inceleme yapalım. Farkları $5$ olan $(7,3), (6,2), (5,1)$ ikililerinden tam iki tanesini ($n$ nin yarısından $1$ fazlasını) seçersek, bunlara ilave olarak $4$ ü seçmek zorundayız. Bu halde istenen özellik açıkça sağlanır. Örneğin $(6,2), (5,1)$ seçildiyse bunun yanına $4$ ü eklediğimizde, $2+4=6$ istenen özelliği sağlar. Eğer $4$ seçilmiyorsa $(7,3)$ ten bir bileşen daha seçmeliyiz. $7$ seçilirse birinin birinci bileşeni ile diğerinin ikinci bileşeni toplamından $7=6+1$ (veya $7=5+2$) elde edilir.
Bu yazdıklarımızdan, genel çözüm için $\mod n$ de ilerlememiz gerektiği ve $n$ nin çift ya da tek olmasına göre iki alt durumda çözüm yapmamız gerektiği kanaati oluşuyor...
