Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 14

[ERhan ERdoğan]

Pozitif tam sayılardan oluşan bir kümede, herhangi iki elemanın $1$ den büyük bir ortak böleni vardır, fakat herhangi üç elemanının $1$ den büyük ortak böleni yoktur. $2015$ sayısı bu kümede bulunuyorsa, bu küme en çok kaç elemanlı olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

[çılgın]

Yanıt: $\boxed{C}$

$2015=5\cdot13\cdot31$ olduğundan ve herhangi iki elemanın ebob u $1$ den büyük olduğundan tüm elemanlar $5, 13$ veya $31$ den en az birine bölünmek zorundadır. Fakat $2015$ harici $4$ sayı varsa bu $4$ sayıdan en az ikisi $5,13,31$ den en az birine beraber bölüneceğinden bu sayılar $a,b$ olmak üzere $(a,b,2015)>1$ olur, ki sorudaki şartla çelişir. Dolayısıyla en fazla $4$ sayı bulunabilir.

$4$ sayı bulunduğuna örnek olarak $2015, 5pq, 13qr, 31rp \quad(p,q,r/= 5,13,31)$ verilebilir.