Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 12

[ERhan ERdoğan]

$1,2, \cdots , 100$ sayıları tahtaya, her biri $10$ eleman içeren $10$ gruba ayrılarak yazılmıştır. Önce her grubun en küçük $2$ elemanı ve daha sonra da kalan $80$ sayının en küçük $10$ tanesi siliniyor. Tahtada kalan $70$ sayının en küçüğü en az kaç olabilir ?

$
\textbf{a)}\ 13
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

[çılgın]

Yanıt: $\boxed{C}$

İddia: Her gruptan $2$ sayının atıldığı aşamada ilk $1,2,\cdots,14$ sayılarından en az $4$ ü atılır.
İspat: Atılmadığını varsayalım. Bu da demektir ki bu sayılardan en az $11$ i kendi grubundaki en küçük ikiden biri değildir, fakat bu gruplardaki en küçük iki bu $14$ sayıdan ikisi olacağından bu iki sayı atılır ve en az $2$ grupta bu durum gerçekleşeceğinden en az $4$ sayı atılmış olur.

İkinci aşamada ise bu $14$ sayıdan $10$ u atılacağından kalan en küçük sayı en az $15$ olabilir.

Örnek olarak ; $1,2,\cdots,10,11,12,\cdots,20,\cdots,91,92,\cdots,100$ verilebilir, örneğin sağladığı kolayca kontrol edilir.

[borlu51]

Daha ayrıntılı bir çözüm yapabilen var mıdır?