Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

$xy+yz+zx=1$ ve $x,y,z \geq 0$ koşullarını sağlayan her $(x,y,z)$ gerçel sayı üçlüsü $$1+\dfrac{z}{x+y} \geq K(1+z^2)$$ eşitsizliğini de sağlıyorsa, $K$ gerçel sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9}{8}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2}{\sqrt{3}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[MATSEVER 27]

Cevap: $\boxed{B}$

$x$ $=$ $y$ $=$ $1$ ve $z$ $=$ $0$ için $K$ $=$ $1$ dir. $K$ $=$ $1$ için sağladığını gösterelim. $x$ $+$ $y$ $+$ $z$ $\ge$ $(1+z^2)(x+y)$ midir? Eğer $z$ $\ge$ $z^2(x+y)$ ise yani $1$ $\ge$ $xz+yz$ ise ispat biter. $1=xy+yz+xz$ $\ge$ $xz+yz$ dir. İspat biter. $K$ en çok $1$ dir.