Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 22

[ERhan ERdoğan]

$1+7+\cdots+7^n$ sayısının $60$ ile tam bölünmesini sağlayan en küçük $n$ doğal sayısı kaçtır ?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 17
\qquad\textbf{d)}\ 19
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{B}$

Toplam formülünden  $7^{n+1}-1 \equiv 0 \pmod {360}$  olması lazım.  $360=8\cdot9\cdot5$  olduğu için ayrı ayrı inceleyelim. $7^{n+1} \equiv 1 \pmod 9$  ise  $n+1=3k$  formunda olmalı. $7^{n+1} \equiv \pmod 8$  ise $n+1=2l$  formunda olmalı.

 $7^{n+1} \equiv 1 \pmod 5$  ise  $n+1=4m$  formunda olmalı.  Dolayısıyla  $n+1=12t$  formunda olmalı.  Bunu sağlayan en küçük $n$  doğal sayısı $11$  dir.