Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 06

[ERhan ERdoğan]

$2323^{2323}$ ün pozitif tam bölenlerinin bazılarından oluşan $\{ a_{1},a_{2}, \dots , a_{n} \}$ kümesinde hiçbir eleman bir diğerini tam bölmüyorsa, $n$ in alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 2322
\qquad\textbf{b)}\ 2323
\qquad\textbf{c)}\ 2324
\qquad\textbf{d)}\ 2325
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{C}$

$2323=101\cdot23$

O halde $\{23^0\cdot101^{2323}, 23^1\cdot101^{2322}, 23^2\cdot101^{2321},\cdots,23^{2322}\cdot101^1, 23^{2323}\cdot101^0\}$ kümesi $2324$ elemandan oluşur, ve hiçbir eleman bir diğerini tam bölmez.

En büyük değerin $2324$ den büyük olamayacağını ispatlayalım.

$23$ ün bir elemandaki kuvveti $0, 1, \cdots, 2323$ olmak üzere $2324$ farklı değer alabilir. Eğer $2325$ tane eleman olsaydı, Güvercin Yuvası İlkesi gereği $23$ ün aynı kuvveti çarpanı olan $2$ eleman olmak zorundaydı. Bu iki elemandan $101$'in kuvveti küçük olan, büyük olanı bölmek zorundadır. Dolayısıyla kümemizde $2324$ den fazla eleman bulunamaz.