Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 09

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinden geçen iç açıortay ile $B$ köşesinden geçen kenarortay $P$ noktasında kesişiyor. $|AP|=\sqrt{3} , |BP|=1 , |CP|=\sqrt{7}$ ise, $ABC$ üçgeninin alanı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt{2}
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ 3\sqrt{2}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{D}$

$B$ köşesinden çıkan kenarortayın ayağı $D$ olsun.  $|AD|=|DC|=x$  olsun. $|PD|=y$  olsun.Açıortay teoreminden $|AB|=\dfrac{x}{y}$  olur.  Yine açıortay teoreminden  $\dfrac{x^2}{y}-y=3$  olur.  Ve  $APC$  üçgeninde kenarortay teoreminden $2y^2=3+7-2x^2$   olur. Yani $x^2+y^2=5$   tir.   $x^2-y^2=5-2y^2=3y$   olur.  $2y^2+3y-5=(2y+5)(y-1)=0$  olur. $y$ pozitif olduğu için $y=1$  dir. $x=2$  dir. $A(\triangle ABC)=2\cdot A(\triangle ABD)$  dir. $ABD$ kenarı $2$ olan eşkenar üçgen çıkıyor yani alanı $\sqrt{3}$  tür.  Cevap $2\sqrt{3}$  çıkar.