Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 15

[ERhan ERdoğan]

$f:\mathbf R \rightarrow \mathbf R$ ve $g:\mathbf R \rightarrow \mathbf R$ fonksiyonları her $x\neq 0$ için

$ \qquad f(2x+1)+g(x-1)=3x+2\\ \qquad f\left ( \dfrac{x+1}{x} \right )+3g\left ( \dfrac{1-2x}{2x} \right )=\dfrac{1}{2x}+4$

eşitliklerini sağlıyorsa $f(2015)+g(2015)$ kaçtır?


$
\textbf{a)}\ -2016
\qquad\textbf{b)}\ -2015
\qquad\textbf{c)}\ 2014
\qquad\textbf{d)}\ 2015
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{C}$

$\dfrac{x+1}{x}$  ifadesini  $2x+1$   e eşitleyen ifadeyi bulalım.   $\dfrac{y+1}{y}=2x+1 \Rightarrow  y=\dfrac{1}{2x}$  Aynı zamanda $\dfrac{1-2x}{2x}$  ifadesinde $x$  yerine $\dfrac{1}{2x}$  yazınca  $x-1$  çıkıyor.  Yani ifadeleri eşitleyen ifade $\dfrac{1}{2x}$ dir. 

$f\left ( \dfrac{x+1}{x} \right )+3g\left ( \dfrac{1-2x}{2x} \right )=f(2x+1)+3g(x-1)=x+4$   olur.  İki denklemi taraf tarafa çıkarırsak   $2g(x-1)=2-2x \ \Rightarrow g(x-1)=1-x$  bulunur. İlk denklemde yerine yazılırsa $f(2x+1)=4x+1$  bulunur. 

O zaman $f(2015)=4029$  ve  $g(2015)=-2015$   bulunur.  Ve bunların toplamı  $2014$  tür.