Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

Çevresi $23$ birim ve alanı $23$ birim kare olan kaç farklı ikizkenar üçgen vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt : $\boxed{C}$

İkizkenar üçgenin tabanına $2x$ diyelim, buna göre eşit kenarlar $\dfrac{23}{2}-x$ olur. Heron alan formülünden $23^2=\dfrac{23}{2} \cdot \left ( \dfrac{23}{2}-2x \right )  \cdot x \cdot x$ olup ifade düzenlenirse $4x^3-23x^2+92=0$ denklemi bulunur. Bu denklemin $x<\dfrac{23}{4}$ şartını sağlayan pozitif gerçel kök sayısını arıyoruz. Tek değişkenli polinomlar için Descartes in işaret kuralına göre polinomun ya $2$  ya da $0$ tane pozitif gerçel kökü vardır. $f(x)=4x^3-23x^2+92$ için $f(5)>0 , f(4)<0$  olduğundan $(4,5)$ aralığında bir pozitif kök vardır. $f(3)<0, f(2)>0$ olduğundan $(2,3)$ aralığında da bir pozitif gerçel kök bulunur. O halde problemde verilen şartları sağlayan iki üçgen vardır.

Descartes İşaret Kuralı

[geo]

Cevap: $2$.

Kenar uzunlukları $\dfrac{23}{2}-a, \dfrac{23}{2}-a, 2 a$ olan üçgenin tabana dik olan yüksekliğinin uzunluğu $$h=\sqrt{\left(\dfrac{23}{2}-a\right)^2-a^2}=\sqrt{\dfrac{23}{2} \cdot\left(\frac{23}{2}-2 a\right)}$$ dır. O halde biz $$
23=a \cdot h=a \cdot \sqrt{\dfrac{23}{2} \cdot\left(\frac{23}{2}-2 a\right)} \Leftrightarrow a^2 \cdot \frac{23}{2} \cdot\left(\frac{23}{2}-2 a\right)=23^2 \Leftrightarrow a^2 \cdot(23-4 a)=4 \cdot 23
$$ denkleminin çözümlerini arıyoruz. $a=\dfrac{23}{6}$ değerini denediğimizde (yani eşkenar üçgen), $a^2 \cdot(23-4 a)=\dfrac{23^3}{6^2 \cdot 3}>4 \cdot 23$ olur. O halde verilen denklemin en az bir adet $0<a<\dfrac{23}{6}$ olmak üzere ve en az bir adet $\dfrac{23}{6}<a<\dfrac{23}{4}$ olmak üzere iki çözümü vardır. Bir de $a<0$ şartını sağlayan ve geometrik anlamı olmayan bir çözüm olduğuna göre başka çözüm olamaz, çünkü denklem $3$'üncü derecedir. Yani istenen şartları sağlayan $2$ üçgen vardır.