Demir bilyeler ve su seviyesi

[Lokman Gökçe]

Taban ayrıtı $2$ cm, yüksekliği $15$ cm olan kare dik prizma biçimindeki bir kabın içinde $5$ cm yüksekliğinde su vardır. Yarıçapı $1$ cm olan birkaç demir bilye suya bırakılınca en üstteki demir bilyenin, su seviyesinin üstünde kaldığı gözlemleniyor. Suya en az kaç demir bilye bırakılmış olabilir? ($\pi = 3,14$ alınacaktır. Cevabınızı sezgisel-deneysel yollarla değil, hesap makinesi de kullanmadan, ispat yaparak vermelisiniz).


$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

L. Gökçe

[Abdullah_71]

Demir bilye özkütle bakımından skaler olarak suyun özkütlesinden daha fazla olduğu için batacaktır ve dolayısıyla sıvı taşırma kaplarına konulduğunda ise hacmi kadar sıvı taşıracaktır ; öyleyse çözelim.

Öncelikle 1 adet demir bilyenin hacmini hesaplayalım : 4/3 pi r^3 ve 1 adet demir bilye konulduğunda ise ne kadar sıvı seviyesi artacak onu hesaplayalım : Bilyenin hacmini , kare prizmanın alt taban alanına bölerek ne kadar sıvı seviyesi artacağını buluruz.Dolayısıyla
1/3 pi r^3 olacaktır.
Şimdi bir durum değerlendirmesi yapalım : Her bilye konulduğunda 1/3 pi r^3 bu kadar sıvı seviyesi artarken , her bilye koyuşumuzda ise 2cm bilyelerin seviyesi artmaktadır , görünmektedir ki , bilyelerin boyunun artma hızı ile sıvı seyisinin yükselme hızı farklı olup bilyenin artma miktarı daha fazladır ve belli bir seviye sonra geçecektir , bunu hesaplayalım.

İlk olarak rezidü (artık) olarak 5cm yüksekliğinde suyumuz vardı ve (x) adet bilye konulunca bu seviye 5+ x/3 pi r^3 olacaktır ve (2x) ise bilyelerin total uzunluğu olacaktır.Dolayısıyla denklemimiz ise şöyle olmaldır :

5 + x/3 pi r^3 < 2x 

5 < 0,95.x ve x en az 6 olmalıdır ki yukarıda ki koşullar sağlansın .

Uzun zaman sonra bi baktım siteye , malum derslerden dolayı bakamıyorum , umarım doğrudur. Sağlıcakla...