İç ve Dış Yarıçaplar

[Bozkurt]

Dış teğet çemberlerinin yarıçapları toplamı, iç teğet çemberinin yarıçapının 9 katına eşit olan bir üçgenin eşkenar olduğunu ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

$r_a,r_b,r_c,r$ üçgende bilinen gösterimler olmak üzere $\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}=\dfrac{1}{r}$ eşitliğine sahibiz. $r_a,r_b,r_c$ değerleri için aritmetik - harmonik ortalama eşitsizliğini uygularsak

$\dfrac{3}{\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}} \leq \dfrac{r_a+r_b+r_c}{3}$ olup $r_a+r_b+r_c \geq 9r$ elde edilir. Eşitlik durumu ancak ve ancak $r_a=r_b=r_c$ iken sağlanır. Yani $r_a+r_b+r_c = 9r$ olması için gerek ve yeter koşul üçgenin eşkenar olmasıdır.