(Mehmet Utku Özbek)
Payda eşitleyelim.
$\Longrightarrow \left (\dfrac{b+a+abc}{b}\right)\left (\dfrac{c+b+abc}{c}\right)\left (\dfrac{a+c+abc}{a}\right) \ge 27$ olduğunu ispatlamalıyız. $a+b+c+abc=4$ olduğunu kullanalım.
$\Longrightarrow \left(\dfrac{4-c}{b}\right)\left(\dfrac{4-a}{c}\right)\left(\dfrac{4-b}{a}\right) \ge 27$ olduğunu ispatlamalıyız. Taraf tarafa çarpıp parantezleri açalım.
$\Longrightarrow (4-c)(4-a)(4-b) \ge 27abc$
$\Longrightarrow 64-16a-16b-16c+4ac+4ab+4bc-abc \ge 27abc$
$\Longrightarrow 16-4a-4b-4c+ac+ab+bc \ge 7abc$ olduğunu ispatlamalıyız. Yine $a+b+c+abc=4$ olduğunu kullanalım.
$\Longrightarrow 16-4(4-abc)+ac+ab+bc \ge 7abc$
$\Longrightarrow ac+ab+bc \ge 3abc$ olduğunu ispatlamalıyız. A.G.O yapalım.
$\Longrightarrow ac+ab+bc \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$ dir. Eğer $ 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \ge 3abc$ olduğunu gösterirsek soru biter. Yani $1\ge abc$ olduğunu göstermeliyiz. Soruda verilen $a+b+c+abc=4$ ifadesine A.G.O yapalım.
$\Longrightarrow \dfrac{a+b+c+abc}{4}=1 \ge \sqrt[4]{a^2b^2c^2}$
$\Longrightarrow 1\ge abc$ İspat biter.
