Üçgen Eşitsizliğinin Kosinüs Teoremi İle İspatı

[Lokman Gökçe]

Klasik üçgen eşitsizliğini ispatı, burada açıklayacağımdan daha temel yöntemlerle de yapılabilmektedir. Kosinüs teoremi ve kosinüs fonksiyonunun $[0, \pi]$ aralığında azalan olması özelliklerini kullanarak bir ispat sunacağım.


Teorem [Üçgen Eşitsizliği]: Bir üçgenin kenarlarının uzunlukları $a, b, c$ olsun. Bu durumda $|b-c| < a < b+c$ eşitsizlikleri vardır.

İspat: $a$ uzunluklu kenarı gören açı $\theta$ olsun. Kosinüs teoreminden $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot \cos \theta$ yazılır. Üçgende $0 < \theta < \pi$ olduğundan ve bu aralıkta kosinüs fonksiyonunun azalan olduğundan $1=\cos 0 > \cos \theta > \cos \pi = -1$ olur. Bunu kosinüslü denklemde yazarsak
$$  b^2 + c^2 - 2bc < a^2 < b^2 + c^2 + 2bc $$
eşitsizlikleri elde edilir. Tam kare özdeşliğinden,
$$ (b-c)^2 < a^2 < (b+c)^2$$
olup karekök alırsak, $|b-c| < a < b+c$ elde edilir.