Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2009 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

$xy^2 = 128(x-1)^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ pozitif tam sayı kilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt: $\boxed{D}$

Eşitliği şu şekilde düzenlersek $\sqrt {y^{2}}=\sqrt {\dfrac {128\left( x-1\right) ^{2}}{x}}= y=\dfrac {8\sqrt {2}\cdot \left( x-1\right) }{\sqrt {x}}$ Elde ederiz.
Bu durumda $x$ en fazla $128$ olabilir. $x$ aynı zamanda $2$'nin tek kuvvetleridir.Sadeleşebilen $x$ değerlerini bulmamız yeterlidir.
Çözümler :$(x=2,y=8$) $(x=8,y=28)$ $(x=31,y=62$) $(x=128,y=127)$


                                                                       ArtOfMathSolving