Doğrudaşlık

[mehmetutku]

$ABC$ üçgeninin $\angle BAC$ nin açıortayı $AD$ dir. ($D , BC$ nin üzerinde).  $B$ noktasından $AD$ ye çizilen dikme $ABD$ üçgeninin çevrel çemberini $B$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $ABC$ üçgeninin çevrel merkezi $O$ olsun. $E,A,O$ noktalarının doğrudaş olduğunu ispatlayınız.

[ERhan ERdoğan]

$AD$ nin $(ABC)$ çemberini kestiği noktaya $H$ , $BE$ nin $AC$ yi kestiği noktaya da $F$ diyelim.$AH$ doğrusu $[BF]$ nin orta dikmesi olduğundan $|HB|=|HF|$ dir. Ayrıca $(ABC)$ çemberi için $\angle{BAH}=\angle{CAH}$ olduğundan da $|HB|=|HC|$ olur.$|HB|=|HC|=|HF|$ olduğundan $(FBC)$ çemberinin merkezi $H$ dır. $(ABD)$ çemberinde $\angle{EAD}=\angle{EBD}=\alpha$ olsun. $(FBC)$ çemberinde $\angle{FHC}=2\angle{FBC}=2\alpha$ olur. $|HF|=|HC|$ olduğundan $\angle{FCH}=90-\alpha$ dır. $O$ merkez olduğundan $\angle{AOH}=2\angle{ACH}=180-2\alpha$ ve $|OA|=|OH|$ eşitliğinden $\angle{OAH}=\alpha$ olur.Sonuç olarak $\angle{EAD}=\angle{OAH}$ olduğundan $O-E-A$ aynı doğru üzerindedir.