Simson

[mehmetutku]

$\text {Tanım}:$   Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde alınan bir noktadan kenarlara inilen dikme ayakları doğrusaldır. Bu doğruya $\text {Simson Doğrusu}$ denir.

Buna göre bir $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde alınan bir $P$ noktasının bu üçgene göre Simson Doğrusu nun $[PH]$ ı ortaladığını gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

$P$ noktasından üçgenin kenarlarına inilen dikme ayakları $X,Y,Z$ ise $X,Y,Z$ noktaları doğrusaldır. (Simson Doğrusu) $PH$ ile Simson doğrusunun kesişimi $K$ olsun. $H$ noktasının $BC$ kenarına göre simetrisi $D$ olsun. Simetriden dolayı $m(\widehat{DHM})=m(\widehat{HDM})=\alpha$, $m(\widehat{HMB})=m(\widehat{DMB})=\beta$ ve $\alpha + \beta = 90^\circ$ dir. Diklik merkezinin iyi bilinen bir özelliği şudur: $D$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üstündedir. (Bu özelliği ispatlamak kolaydır)

$PD$ ile $BC$ nin kesişimi $M$ noktası olsun. $m(\widehat{PMX})=m(\widehat{DMB})=\beta$ dır. Aynı yayı gören çevre açılardan $m(\widehat{ADP})=m(\widehat{ACP})=\alpha$ dır. $PYXC$ bir kirişler dörtgeni olduğundan $m(\widehat{PCY})=m(\widehat{PXY})=\alpha$ olur. $\widehat{PXY}$ ile $\widehat{LXM}$ tümler açılar olduğundan $m(\widehat{LXM})=\beta$ olur. Dolayısıyla $PXM$ dik üçgeninde $|PL|=|LM|=|LX|$ tir. $m(\widehat{HMB})=m(\widehat{LXB})=\beta$ olduğundan $KL \parallel HM $ elde edilir. Bu paralellikten dolayı $|PK|=|KH|$ bulunur.